数値計算で連立方程式を解く方法として、ガウス・ジョルダン法(Gauss Jordan Method)があります。 ガウス・ジョルダン法は、連立方程式から係数行列を作り、その係数行列を単位行列になるように掃き出しを繰り返す手法です。 次回は単位行列を作ることができないときにはどうすればよいかを解説します。また連立方程式の解の構造は(解の一つを はどうなってしまったのでしょうか。次回、その謎に迫ります。, 1つの行をa倍して他の行に足す. 0000001199 00000 n h�bbd```b``��� ��"�k��^0����9 f����@${��"9��@$���Y`��}����$��9�H�d�,��@�`��ˮ��H����t�!ص�C������ � c� 4.1 2 元連立1 次方程式 ≪変数消去法(掃き出し法)≫ 2 つの未知数x,y に関する2 つの式からなる 連立1 次方程式を考える.「70 円の鉛筆と90 円のボールペンをあわせて15 本 買ったら代金は1170 円でした.それぞれ何本買ったでしょうか」からはじめ 0000005847 00000 n 例題を解きながら掃き出し法を用いて不定解(解が無限個)の連立一次方程式を解く方法をコツを交えながらわかりやすく解説します。, これは、連立一次方程式に対し「基本変形」と呼ばれる同値変形を繰り返して解に相当する成分のみを残す(余計なものを掃き出す)ことで、解を求める方法になる。, $$\begin{cases}-3x_1+3x_2-2x_3+x_4-7x_5=3 \\\phantom{-}3x_1-3x_2+2x_3\phantom{{}+x_4}+9x_5=-1\\-2x_1+2x_2-\phantom{1}x_3+x_4-4x_5=2\end{cases}$$, $$\Leftrightarrow\begin{cases}x_1-x_2\phantom{{}+x_3}\phantom{{}+x_4}+3x_5 =1\\\phantom{x_1}\phantom{{}+x_2}\phantom{{}+{}}x_3\phantom{{}+x_4}\phantom{{}+0x_5} =-2\\\phantom{x_1}\phantom{{}+x_2}\phantom{{}+x_3}\phantom{{}+{}}x_4+2x_5=2\end{cases}$$, 連立一次方程式は、係数行列と拡大係数行列の階数によって解の種類が3パターンに変化する。, \(n\) 変数の連立一次方程式 \(A\vec x = \vec b\) とし、拡大係数行列を \([A| \vec b]\) で表す。, なぜなら、簡約化は「行基本変形」と言われる、連立一次方程式の係数のみを取り出して基本変形を繰り返す操作であり、掃き出し法と同じ操作をしているからである。, $$\left(\begin{array}{ccccc|c}-3 & 3 & -2 & 1 & -7 & 3\\3 & -3 & 2 & 0 & 9 & -1\\-2 & 2 & -1 & 1 &-4 & 2\end{array}\right)$$, $$\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -1 & 0 & 0 & 3 & 1\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2\\0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2\end{array}\right)$$, \(A=\begin{pmatrix}-3 & 3 & -2 & 1 & -7 \\3 & -3 & 2 & 0 & 9\\-2 & 2 & -1 & 1 &-4\end{pmatrix}\)、\(\vec x =\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}\)、\(\vec b=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\) とおくと、, $$\Leftrightarrow\begin{pmatrix}-3 & 3 & -2 & 1 & -7 \\3 & -3 & 2 & 0 & 9\\-2 & 2 & -1 & 1 &-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$$, $$[A|\vec b]=\left(\begin{array}{ccccc|c}-3 & 3 & -2 & 1 & -7 & 3\\3 & -3 & 2 & 0 & 9 & -1\\-2 & 2 & -1 & 1 &-4 & 2\end{array}\right)$$, $$\mathrm{rank}\:A=\mathrm{rank}\:[A| \vec b]=3<5$$, また、係数行列の簡約化が単位行列 \(E\) にならないときは、解が1つに定まらないと言える。, $$\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & 0 & 3\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 &2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$$, この連立一次方程式の解は、問題の連立一次方程式の解と等しいため、この式の解を求めればよい!, ここでは、任意定数 \(c_1,c_2\) を自分で仮定して \(x_2=c_1\)、\(x_5=c_2\) とおく。, \(\begin{cases}x_2=c_1\\x_5=c_2\end{cases}\) かつ \(\begin{cases}x_1=1+c_1-3c_2\\x_3=-2\\x_4=2-2c_2\end{cases}\), \(\begin{cases}x_1=1+c_1-3c_2\\x_2=c_1\\x_3=-2\\x_4=2-2c_2\\x_5=c_2\end{cases}\) (\(c_1,c_2\):任意定数), 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, \(\mathrm{rank}\:A=\mathrm{rank}\:[A| \vec b]/Filter/FlateDecode/ID[<7041229BB380E142BD928E4D949984F3>]/Index[154 64]/Info 153 0 R/Length 133/Prev 458439/Root 155 0 R/Size 218/Type/XRef/W[1 3 1]>>stream 0000002234 00000 n →3行目を2倍して1行目に足す→ あとは先ほどと同様に単位ベクトルを作ります。 %PDF-1.6 %���� endstream endobj startxref 3行目を1/4倍して1を作ります。(2行目にすでに1がありますが2行目を使うと2列目が崩れてしまいます) 0000003652 00000 n h�b```f``*e`e`��� ̀ �@16�B P1. 0000002992 00000 n == 連立1次方程式の解き方(まとめ) == 連立1次方程式とは,次の形の方程式をいい,一般に未知数をn個含む1次方程式から成り立っている.このページでは未知数が2個~4個の場合を扱う. 0000011234 00000 n 0000015138 00000 n 0 にします。しかし、2列目には1がないので2行目と3行目を使ってまず1を作ります。(1行目を使うと1列目の単位ベクトルが崩れてしまいます) ���stO}E��)X�"ȴ�nTA�R?0�.=�����%�Ʉ�S����������t8�y�6�X��6�{k��$������o���V�ŕf4�/Z3�� �'/��`��F���5�C�f[`�#�}��j��2U��s�E�O�E��D�ӐY��ݸ�Kǭb���.p�����ClGE��P3č�4ŝ�FO���Ĵ?�a�dl�|x׺yg#z��Y�"�;��, N�t���7\�����!z��\�&q��\[%[2���I�,� B˃��ڈ�0v�. startxref 0000391653 00000 n この連立方程式はもちろん普通に解くことが出来るのですが、これを行列を使って求めるのが「 掃き出し法 」です。 なぜわざわざ行列を使うのかというと、一言で言えば、「計算が楽だから」です。 というのも、連立方程式って実際には係数さえあれば計算することができます。