対数グラフとは,対数目盛を使ったグラフのことです。普通の目盛では「0から1」「1から2」が同じ1目盛分になりますが,対数目盛では,「1から10」「10から100」が同じ1目盛分になります。, 普通のグラフでは,二点間の距離がその二点の数値の差に比例するような目盛(普通の数直線)を使います。 山梨県出身 「対数グラフ」「指数関数的増加」という言葉を耳にするようになりました。, 高校の時に習ったような・・・とかすかな記憶を頼りに見られている方もおられるのではないでしょうか。, 理系の大学を出られてエンジニアで働かれている人であれば使う方もいますが、 普段の生活では全くきかない言葉ですね。, 1週間毎に、2倍、2倍と増えていきますので、 そして、なぜ常用対数をつ. 実験結果をグラフにします。で、そのときに対数をとってと言われました。 というのがスッキリしないです。(>_<) 対数グラフを使えば、今まで見えなかった「アッと驚く」姿が見えてきます。対数グラフを使うのに苦手な対数の知識は必要ありません。excelによる対数グラフの作り方のページです。 一般的によく見かける目盛は2点間の距離が0,1,2,3,4,5・・・のように数が1ずつ増えたり、0,10,20,30,40,50・・・のように数に10ずつ増えたりするような目盛となっています(この記事はこの目盛を普通の目盛と呼びます)。 一方、2点間の距離が0.001,0.01,0.1,1,10,100・・・のように数が10倍ずつ増えたりするような目盛を対数目盛と言います。対数目盛は1つ後の目盛りが広くなり、1つ前の目盛りが狭くなっている箇所が目盛りの間隔となっています。親切なグラフの場合、この目盛の間隔の箇所 … $\iff y=10^{B}10^{Ax}$ という関係がある, ここで,$10^B=C,10^A=a$ とおくと,$y=Ca^x$ という関係式になる。, また,指数の底 $a$ と直線の傾き $A$ の間には $10^A=a$ という関係があるので傾きから指数の底が分かる。, ※対数の底は何でも構いませんが(底の変換公式よりスケールが変化するだけ)今回は常用対数で説明します。この記事では $\log_{10} x$ を $\log x$ と書きます。, なお,片対数グラフにおいて,2点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ を結ぶ線分の傾きは ただ、相手側(グラフ)の基準が変わってるのに、受け取る側(自分)が見たまんまの感じで理解しちゃっていいのかな? 権利者の許諾なく、私的使用の範囲を越えて複製したり、領布・公衆送信(送信可視化を含む)等をおこなうことは法律で固く禁じられています。, プッシュ通知をオンにして、受験のミカタの新しい記事や、プレゼントキャンペーンの情報などをいち早く手に入れましょう。, logに累乗がかかった対数方程式ではlogを一つの文字とみれば通常の二次方程式とほぼ同様, 対数logや対数関数は文理・難易度を問わずかなりの頻度で出題されるのでしっかり身につけて自分の武器に.  描いたグラフの見方がわかりません? ・対数をとる理由は? →片対数グラフ(semi-log plot)と呼ばれる。指数関数を図示するのに便利。, 3.$x$ 軸,$y$ 軸ともに対数目盛 新型コロナウイルスの感染がなかなか終息しません。 最近見かけるようになったのが、 「対数グラフ」「指数関数的増加」という言葉を耳にするようになりました。 高校の時に習ったような・・・とかすかな記憶を頼りに見られている方もおられるのではないでしょうか。 ありがとうございました。<(_ _)>, >対数グラフにすると、ぴったり直線になる場合があります。 直線の傾き $A$ はべきと一致している。, なお,両対数グラフにおいて,2点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ を結ぶ線分の傾きは 2020/09/02 コロナウイルスなどの感染者増加と片対数グラフの関係について追加, 実験の基礎シリーズの最終回となる今回は、実験で出てくる片対数・両対数グラフについて説明していきます。, 皆さんが今まで使ってきたグラフは、縦の軸の目盛りも、横の軸の目盛りも1, 2, 3… やら 10, 20, 30… と等間隔に振られていますね。, 片対数グラフというのは、縦の軸か横の軸の片方の目盛りが等間隔の目盛りではなく「対数の目盛り」になったグラフです。, 片方の軸なので、縦と横のどちらを対数にしてもOKですが、縦を対数軸にすることが多い気がします*1。, 両対数グラフというのは、縦の軸か横の軸の片方の目盛りの両方が対数の目盛りになったグラフです。, 片対数グラフ・両対数グラフのグラフ用紙はこちらのホームページに掲載されていたので、確認したい人はぜひ見てください。, (今回片対数グラフの説明をするにあたって、神戸市立工業高等専門学校長谷研究室の片対数グラフを引用しています。[アクセス日:2019年9月29日]), 片対数や両対数などの対数に関するグラフでまず挫折するのは、目盛りの読み方だと思います。, 片対数グラフの1つ上の目盛りが広く、1つ下の目盛りが狭くなっているのが目盛りの間隔の変化のサインを表しています(この部分は必ず値が になります)。親切なグラフ用紙なら太線になっているはずです*2。, このサインより上側に行くと1つあたりの目盛りの単位が10倍に、下側にいくと目盛りの単位が 1/10 倍になります。, 対数目盛を見て、「なんでこんなに目盛りの間隔が違うの?」と思った人もいるかもしれません。, そこで、対数目盛の1から10を表すそれぞれの部分に をとって方眼紙と比較してみましょう。, すると、1と2の間隔は と の間隔、2と3の間隔は と の間隔と等しくなっていますね。, もう1つ、 を境目に突然値の増え方が10倍になりましたね。この仕組みを図とともにわかりやすく書いてみました。, 例えば20(つまり というのは\[ \log_{10} 20 = \log_{10} 2 + \log_{10} 10\]の2つに分解できますね。, 同じ対数の底同士の足し算は真数同士の積で計算できますね。同様に 30, 40の場合も\[ \log_{10} 30 = \log_{10} 3 + \log_{10} 10 \\ \log_{10} 40 = \log_{10} 4 + \log_{10} 10\]のように が足されていますね。, 新型コロナウイルス感染症について,片対数グラフを見かけたり私自身描いているのですが「対数グラフとはなんぞや」ということを伝えたくて漫画を描きました。「対数グラフで伝染病を見る」(1/3)サイトにpdfファイルでアップしたのでまとめて読みたい人はこちらにどうぞhttps://t.co/mwrRCkZ6AD pic.twitter.com/0USW9Eil0a, このようなグラフ(片対数)を見た一部の人は「なんだこのグラフ、感染者数を少なく見せるインチキじゃないのか」とわけわからないことを言っていました。, そこで、(コロナに限らず)感染者が急激に増えるシーンで片対数グラフが有効な理由を実際にプロットすることで確かめてみましょう。, 実際に感染者のデータを使うのもどうかと思ったので、今回はこちらの感染者シミュレーターを使って実験を行いました。, 例えば、\( \log_{10} x = 1 \) となる \( x \) を満たすためには \( x = 10^1 = 10 \) となればOKですね。, 同じように \( \log_{10} x = 2 \) であれば \( x = 10^2 = 100 \) で満たしますね。, となるように、対数の値が 1, 2, 3, … と等間隔(直線)に増えていく場合、元の数は 1, 10, 100, 1000, … と指数関数(今回は \( 10^x \) 的に)増えていきますね。, 前回の最小2乗法の記事で、何かしらの変形を行って直線にできるものはなんでも最小2乗法にできると説明しましたね。, そのため、どちらか片方が対数目盛であったとしても、直線になるような変形をすれば最小2乗法が適用できますね。, まずは、式をどう変形すれば片対数グラフに対する最小2乗法が適用できるかを考えましょう。, 片対数グラフで直線になるということは、縦軸である \( y \) 側のデータを対数で変換すれば直線になると言い換えられますね。, これを数式的に表すと、\( Y = \log_{10} y \), \( X = x \) とおきかえることで直線 \( Y = aX + b \) が成立すると言い換えられますね。, ここで、直線 \( Y = aX + b \) に対し、\[X = x, \ \ \ Y = \log_{10} y\]を代入し、もとの \( x \), \( y \) の式に戻してあげると\[\log_{10} y = ax + b\]となります。, さらに、両辺を\[\begin{align*}10^{ \log_{10} y } & =10^{ax+b}\\ & = 10^{b} \cdot  10^{ax}\\ & = y\end{align*}\]と変形できます。, ここで、\[y = 10^{b} \cdot  10^{ax}\]の \( 10^{b} \) が煩わしいと思った人は \( b' = 10^{b} \) とでもおいて、\[y = b' 10^{ax}\]としてもOKです。, ここからは、「日数」を \( x \) 軸、「感染者数」を \( y \) 軸として説明していきます。, まず、\[X = x, \ \ \ Y = \log_{10} y\]に変換した後の各データを表に書いてみましょう。, このデータに対し、最小2乗法を適用すると、\[\begin{align*}Y & = 0.1725X + 0.8992\\ & = aX + b\end{align*}\]となります。, この \( a = 0.1725 \), \( b = 0.8992 \) を変換後の式\[y = 10^{b} \cdot  10^{ax}\]に代入してあげましょう。, すると、\[\begin{align*}y & = 10^{0.8992} \cdot 10^{0.1725x}\\ & = 7.292 \cdot 10^{0.1725x}\end{align*}\]という関係式が成立します。, 指数関数的な増減をしそうなデータの回帰直線を求める場合、\[X = x, \ \ \  Y = \log_{10} y\]と置いてから最小2乗法を適用し、\[Y = aX + b\]の , の値を求めると回帰直線\[b = \log_{10} b' \\ y = b' \cdot 10^{ax}\]と変形することができる。, 下の表は、地球を基準(1)としたときの8つの惑星の軌道半径と公転周期を、表したものです。, 両対数グラフを書いて直線になるということは、2つの変数 \( x \), \( y\) に対して\[X = \log_{10} x, \ \ \ Y = \log_{10} y\]とおいたときに直線 \( Y = aX + b \) となるといいかえられます。, まず、直線 \( Y = aX + b \) の式に、\( X = \log_{10} x \), \( Y = \log_{10} y \) を代入します。すると、\[\log_{10} y = a \log_{10} x + b\]となりますね。, ここで、\( b = \log_{10} b' \) とおくと、\[\begin{align*}\log_{10} y & = a \log_{10} x + \log_{10} b'\\ & = \log_{10} x^a + \log_{10} b'\\ & = \log_{10} b' x^a\end{align*}\]となるので、\[10^{  \log_{10} y } = 10^{  \log_{10} b' x^a } \\y = b' x^a \]と変形できます。, (\( b = \log_{10} b' \) なので \( b' = 10^b \) となる。), つまり、データが \( x^2 \), \( x^3 \), … , \( x^a \) のようなべき関数*4な変換をするものに対して、両対数がグラフが有効なものといえます。, ということで、先ほどのこちらのデータに、最小2乗法を適用し、近似式を出してみましょう。, ここで、\[X = \log_{10} x, \ \ \ Y = \log_{10} y\]とおきます。すると、それぞれの星の \( X \), \( Y \) は下のようになります。, このデータに対し、最小2乗法を適用すると、\[\begin{align*}Y & = 1.500X + 5.966 \times 10^{-5}  \\ & = aX + b\end{align*}\]となります。, この \( a = 1.500 \), \( b = 5.966 \times 10^{-5}  \) を変換後の式\[y = b' x^a \ \ \ ( b' = 10^b )\]に代入してあげましょう。, すると、\[\begin{align*}y & = 10^{5.966 \times 10^{-5}} x^{1.500}\\ & = 1.000 x^{1.500}\end{align*}\]という関係式が成立します。, 少し言い換えると、公転周期 \( T \) の2乗は軌道半径 \( a \) の3乗に比例することを示せましたね。, これを数式で書くと、定数 \( k \) を用いて\[\frac{ T^2 }{ a^3} = k\]となります。, ということで、両対数グラフを用いてケプラーの第3法則を示せましたとさ、めでたしめでたし。, べき関数的な増減をしそうなデータの回帰直線を求める場合、\[X = \log_{10} x, \ \ \ Y = \log_{10} y\]と置いてから最小2乗法を適用し、\[Y = aX + b\]の , の値を求めると回帰直線\[b = \log_{10} b' \ \to \ b' = 10^b \\y = b' \cdot x^a\]と変形することができる。, では、Excelで片対数、両対数の最小2乗法の曲線の傾きと切片を求める方法についてまとめていきます。, まず、求めたい曲線の傾きと切片のデータを選んでから散布図を表示させてから線をクリックし、「近似直線の追加」を選択してください。, ↓ここまでは通常の最小2乗法と同じです。わからなければこちらのほうに図を使ってわかりやすく説明しているのでこちらをご覧ください。, 片対数グラフの回帰曲線 の , の値を求める場合、近似曲線のオプションで「指数近似」を選びましょう。, グラフに数式を表示する、にチェックを入れたら無事\[y = 92.00 e^{-0.08265x}\]と表示されましたね。(数字の表示桁数は各自で調整しましょう。), しかし、底が 10 ではなく になってしまってます。なので直しましょう。\[e^{-0.08265x} = 10^{a'}\]となるような を求めます。\[\log_{e} e^{-0.08265x} = a' \log_{e} 10 \\-0.08265 x = a' \log_{e} 10\]となるので、\[a' = \frac{-0.08265}{\log_{e} 10} = -0.3589 \]となり、\[y = 92.00 10^{-0.3589x}\]と求められます。, 両対数グラフの回帰曲線 の , の値を求める場合、近似曲線のオプションで「累乗近似」を選びましょう。, グラフに数式を表示する、にチェックを入れたら無事\[y = 0.0004630 x^{2.126}\]と表示されましたね。, *1:私が今まで色んな大学の実験の資料を見ると、縦軸を対数軸、横軸を普通(等間隔)の軸になっていることが多かったです。, *3:80,90,100, 200, 300のように100を超えるとさらに値が10倍されるのも が足されているからです。, *4:多項式関数でもいいが、多項式関数だと \( x^{-2} \) のような負の次数をもつべき関数が表現できない。, 数学と情報が得意な大学生です。数学科目と情報科目をわかりやすく説明するブログを作っています!, 【片対数・両対数グラフ】うさぎでもわかる実験の基礎 第3羽 片対数・両対数グラフを用いた最小2乗法, 私が今まで色んな大学の実験の資料を見ると、縦軸を対数軸、横軸を普通(等間隔)の軸になっていることが多かったです。, 80,90,100, 200, 300のように100を超えるとさらに値が10倍されるのも, 多項式関数でもいいが、多項式関数だと \( x^{-2} \) のような負の次数をもつべき関数が表現できない。, \( \log_{10} x = 3 \) の場合 \( x = 10^3 = 1000 \), \( \log_{10} x = 4 \) の場合 \( x = 10^4 = 10000 \), \( \log_{10} x = 5 \) の場合 \( x = 10^5 = 100000 \). お客様の許可なしに外部サービスに投稿することはございませんのでご安心ください。, http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC% …, http://www38.tok2.com/home/shigaarch/6607PianoC0 …, 数学のグラフについて質問です。 課題で真数,片対数,両対数の各グラフ用紙にあるデータを書くという課題, (1.8×10^-5)の常用対数は何になりますか? これを方対数のグラフにせずに通常の数値のグラフで表示すると以下のように、変化が見にくくなってしまいます。 まずは、通常の対数でないグラフをつくってしましょう。 その増加率が上昇しているのか鈍化しているかがわかりにくいです。, 3月下旬から4月上旬まで、傾きが急で、増加率が高かったですが、